[1]
\(\displaystyle X \sim B\left(5,\frac{1}{2}\right)\)より、
\(\displaystyle P(X=3)={}_5C_{3}\left(\frac{1}{2}\right)^5\)\(\displaystyle =\frac{5}{16}\)
\(\displaystyle E[X]=\frac{5}{2}\)\(\displaystyle ,V[X]=\frac{5}{4}\)
[2]
\(Y=3\)となるのは以下のような並びの場合である。
\(\{A,B\}\{A,A,B\}\)(\(\{\}\)内は自由に並び替えて良いことを表す)
前半部分の確率は1で後半部分の確率は並び順が
\(\{A,B\}A,A,B\)の時、\(\displaystyle \frac{1}{2}\)\(\displaystyle \times \frac{1}{3}\)\(\displaystyle \times \frac{3}{4}\)
\(\{A,B\}A,B,A\)の時、\(\displaystyle \frac{1}{2}\)\(\displaystyle \times \frac{2}{3}\)\(\displaystyle \times \frac{2}{4}\)
\(\{A,B\}B,A,A\)の時、\(\displaystyle \frac{1}{2}\)\(\displaystyle \times \frac{2}{3}\)\(\displaystyle \times \frac{2}{4}\)
となるので、\(P(Y=3)=\displaystyle \frac{1}{24}\)
\(E[Y],V[Y]\)に関しては計算が大変なので、[3]を解いた後に計算する。
[3]
\(E[X],V[X]\)
\(\displaystyle X \sim B\left(n,\frac{1}{2}\right)\)より、\(\displaystyle E[X]=\frac{n}{2}\)\(\displaystyle ,V[X]=\frac{n}{4}\)
\(E[Y],V[Y]\)
方法2は振り分け方が振り分ける直前の各グループの人数によって決まるので漸化式を立ててみると、
\(P_{n+1}(y+1)\)\(\displaystyle =\frac{n-y}{n}P_n(y)\)\(\displaystyle +\frac{y+1}{n}P_n(y+1)\)\(\cdots (*)\)
ただし\(P_n(y)\)は\(n\)人を振り分けた時にグループAに\(y\)人いる確率を表す。
\(E[Y]\)
\(式(*)\)の両辺に\(\displaystyle \sum_{y = 0}^\infty (y+1)\)をくっ付けると、
\(\displaystyle\sum_{y = 0}^\infty (y+1)P_{n+1}(y+1)\)\(\displaystyle =\sum_{y = 0}^\infty (y+1)\frac{n-y}{n}P_n(y)\)\(\displaystyle +\sum_{y = 0}^\infty (y+1)\frac{y+1}{n}P_n(y+1)\)
\(\displaystyle =\sum_{y = 0}^\infty (y+1)P_n(y)\)\(\displaystyle -\frac{1}{n}\sum_{y = 0}^\infty y(y+1)P_n(y)\)\(\displaystyle +\frac{1}{n}\sum_{y = 0}^\infty (y+1)^2 P_n(y+1)\)
となるので、
\(E_{n+1}[Y]\)\(\displaystyle =E_n[Y+1]\)\(\displaystyle -\frac{1}{n}E_n[Y(Y+1)]\)\(\displaystyle +\frac{1}{n}E_n[(Y+1)^2]\)
\(\displaystyle =\frac{n-1}{n}E_n[Y]+1\)
\(E_2[Y]=1\)をもとに代入していくと、
| \(n\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
| \(E_n[Y]\) | \(\displaystyle \frac{3}{2}\) | \(2\) | \(\displaystyle \frac{5}{2}\) |
となるので、\(\displaystyle E_n[Y]=\frac{n}{2}\)だと推測出来る(漸化式を解いても良い)。
\(V[Y]\)
\(式(*)\)の両辺に\(\displaystyle \sum_{y = 0}^\infty (y+1)^2\)をくっ付けると、
\(\displaystyle\sum_{y = 0}^\infty (y+1)^2P_{n+1}(y+1)\)\(\displaystyle =\sum_{y = 0}^\infty (y+1)^2\frac{n-y}{n}P_n(y)\)\(\displaystyle +\sum_{y = 0}^\infty (y+1)^2\frac{y+1}{n}P_n(y+1)\)
\(\displaystyle =\sum_{y = 0}^\infty (y+1)^2P_n(y)\)\(\displaystyle -\frac{1}{n}\sum_{y = 0}^\infty y(y+1)^2P_n(y)\)\(\displaystyle +\frac{1}{n}\sum_{y = 0}^\infty (y+1)^3 P_n(y+1)\)
となるので、
\(E_{n+1}[Y^2]\)\(\displaystyle =E_n[(Y+1)^2]\)\(\displaystyle -\frac{1}{n}E_n[Y(Y+1)^2]\)\(\displaystyle +\frac{1}{n}E_n[(Y+1)^3]\)
\(\displaystyle =\frac{n-2}{n}E_n[Y^2]+n+\frac{1}{2}\)
ここで、\(E_{n}[Y^2]\)\(=V_n[Y]\)\(+E_n[Y]^2\)を用いると、
\(V_{n+1}[Y]\)\(+E_{n+1}[Y]^2\)\(\displaystyle =\frac{n-2}{n}(V_{n+1}[Y]+E_{n}[Y]^2)\)\(+n\)\(\displaystyle +\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle E_n[Y]=\frac{n}{2}\)なので、
\(V_{n+1}[Y]\)\(\displaystyle =\frac{n-2}{n}V_{n+1}[Y]+\frac{1}{4}\)
\(V_2[Y]=0\)をもとに代入していくと、
| \(n\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
| \(V_n[Y]\) | \(\displaystyle \frac{3}{12}\) | \(\displaystyle \frac{4}{12}\) | \(\displaystyle \frac{5}{12}\) | \(\displaystyle \frac{6}{12}\) |
となる(分母を\(12\)で揃えた方が良いことは、代入していく過程で気づく)ので、\(\displaystyle V_n[Y]=\frac{n}{12}\)だと推測出来る(漸化式を解いても良い)。
大小比較
\(E[X]=E[Y]\)\(,V[X]>V[Y]\)
[4]
\(L_A=2z_{0.025}\displaystyle \frac{20}{\sqrt{96}}\)\(=8.00\)
\(\displaystyle \frac{L_A}{L_B}=\frac{2z_{0.025}\displaystyle \frac{20}{\sqrt{96}}}{2z_{0.025}\displaystyle \frac{20}{\sqrt{104}}}\)\(=\displaystyle \sqrt{\frac{104}{96}}\)\(\displaystyle =\sqrt{\frac{13}{12}}\)
[5]
グループAに割り振られた人数を\(x\)人とすると、
\(L_A=2z_{0.025}\displaystyle \frac{20}{\sqrt{x}}\leq 8.0\)
より、\(96.04 \leq x\)
\(P(96.04 \leq x) \geq 0.8\)となればよいが、\(X\)は近似的に\(\displaystyle N\left(\frac{n}{2},\frac{n}{4}\right)\)に従うので、\(\displaystyle P\left(\frac{96.04-\frac{n}{2}}{\sqrt{n}/2} \leq \frac{x-\frac{n}{2}}{\sqrt{n}/2} \right) \geq 0.8\)となればよい。
標準正規分布表から、
\(\displaystyle \frac{96.04-\frac{n}{2}}{\sqrt{n}/2} \leq -0.84\)
これを解いて、\(n \geq 204.08\)
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