[1]
\(\displaystyle E[X] = \int^\infty_0 x \lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda}\)
[2]
\(\displaystyle E[e^{tX}] = \int^\infty_0 e^{tx} \lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{\lambda}{\lambda-t}\)
ただし、積分範囲を無限大にした時に発散しないために、\(t < \lambda\)である。
[3]
\(\displaystyle g(x) = \frac{e^{hx}\lambda e^{-\lambda x}}{\frac{\lambda}{\lambda-h}}\) \((h < \lambda)\)
\(\displaystyle g(x) = (\lambda – h)e^{-(\lambda – h)x}\)
よって、\(X_W\)はパラメータが\(\lambda – h\)の指数分布\(\exp(\lambda – h)\)に従うため、\(E[X_W] = \displaystyle \frac{1}{\lambda – h}\)\( \displaystyle > \frac{1}{\lambda}\)である。
よって、\(E[X_W] > E[X]\)
[4]
\(\displaystyle E[X_W^r] = \left. M_{X_W}^{(r)}(s) \right|_{s=0}\)
これは、\(X_W\)のモーメント母関数を\(r\)回微分して、\(s=0\)を代入したものである。そのため、
\(\displaystyle = \left. E_{X_W}[e^{sX_W}]^{(r)} \right|_{s=0}\)
\(\displaystyle = \left. \left( \int^\infty_0 e^{sx}\frac{e^{hx}f(x)}{M_X(h)}dx \right) ^{(r)}\right|_{s=0}\)
\(\displaystyle = \left. \frac{1}{M_X(h)} \left( \int^\infty_0 e^{(s+h)x}f(x)dx \right) ^{(r)}\right|_{s=0}\)
\(s\)で\(r\)回微分し、\(s=0\)を代入する部分では、\(s+h=t\)の変数変換を行うことで、
\(\displaystyle = \left. \frac{1}{M_X(h)} \left( \int^\infty_0 e^{tx}f(x)dx \right) ^{(r)}\right|_{t=h}\)
\(\displaystyle = \left. \frac{1}{M_X(h)} M_X^{(r)}(t) \right|_{t=h}\)
\(\displaystyle = \frac{M_X^{(r)}(h)}{M_X(h)}\)
[5]
これなかなか難しいですねえ。
\(E[X_W]\)に着目するため、[4]の式で\(r=1\)とし、
\(\displaystyle E[X_W] = \frac{M_X^{(1)}(h)}{M_X(h)}\) \(\cdots ①\)
ここで、\(E[X_W]\)の比較対象である\(E[X]\)は\(M_X^{(1)}(0)\)と表せるため、\(h=0\)の場合を考えると、①は
\(\displaystyle E[X_W] = \frac{M_X^{(1)}(0)}{M_X(0)}\)\(\displaystyle = \frac{E[X]}{1}\)\(\displaystyle =E[X]\)
ただし、\(M_X(0)\)は常に全確率を返し\(1\)となる。
また、①で\(E[X_W]\)は\(h\)の関数であるため、\(h\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{d E[X_W]}{d h} = \frac{M_X^{(2)}(h)M_X(h)-M_X^{(1)}(h)M_X^{(1)}(h)}{M_X(h)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{M_X^{(2)}(h)}{M_X(h)}-\left ( \frac{M_X^{(1)}(h)}{M_X(h)}\right) ^2\)
\(\displaystyle =E[X_W^2]-E[X_W]^2=V[X_W]\)\(\geq 0\)
より、\(E[X_W]\)は単調増加関数であることが分かる。
詳細な解答は公式の解答を参照。
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