統計 二項分布の確率母関数を導出する
はじめに 二項分布の分散って導出するのが大変ですよね。 確率母関数またはモーメント母関数を計算出来れば、その確率変数のモーメントを簡単に計算出来ます。 確率母関数とモーメント母関数の使い分けは、離散型確率分布なら確率母関数、連続型確率分布な...
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統計 統計 正規分布の\(X^2\)の期待値の導出
はじめに 確率変数\(X\)が正規分布\(N(\mu,\sigma)\)に従うときの\(X^2\)の期待値\(E\)を導出したのでまとめます。 \(V=E-E^2\)の式を使えば簡単に計算は出来ますが、今回は確率密度関数を使って計算をしまし...
統計 ベイズの定理の式を図で理解する
はじめに ベイズの定理の式が分かりにくくて、図で理解するとよく理解できたのでまとめます。 ベイズの定理は以下の式です。 ベイズの定理 $$ P(A_i|B)=\displaystyle \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\disp...
統計 統計検定準1級に2週間で合格するためにしたこと
はじめに つい先日、統計検定の準1級に無事合格することが出来ました。 勉強期間は2週間で厳しかったですが、なんとか合格ことが出来ました。 合格するまでにやったことをまとめたいと思います。 以下、日記のように長くなってしまいましたが、どのよう...
統計 正規分布のモーメント母関数
はじめに 正規分布\(N(\mu,\sigma^2)\)に従う確率変数\(X\)のモーメント母関数\(m(\theta)\)を導出しました。 導出 \(\displaystyle m(\theta) = E\left\) \(\displa...
統計 変数変換の確率密度関数
はじめに 変数変換後の確率密度関数を導出しました。 導出したのは以下の関数です。 変数\(X\)が確率密度関数\(f(x)\)で表される時、\(Y=g(X)\)で変数変換した時の\(Y\)の確率密度関数 数学科ではないので、論理的欠陥がある...
統計 \(E[E[X|Y]]=E[X]\)の証明
はじめに \(E]=E\)の証明をしました。 \(E\)は、「条件\(Y\)の下での\(X\)の期待値」です。 証明 \(\displaystyle E= \int ^\infty _{-\infty} xf_{X|Y}(x)dx\) \(...
統計 幾何分布の期待値の導出
はじめに 幾何分布の期待値を導出しました。 幾何分布の確率密度関数は次の通りです。 $$f(x)=p(1-p)^{x-1}$$ 言葉で説明すると、「確率pの試行を続ける時、\(x\)回目に初めて成功する確率」です。 それでは導出をまとめます...
統計 積の期待値\(E[XY]\)を共分散\(\sigma_{XY}\)で表す
はじめに 従属な確率変数\(X,Y\)に対して、差の分散\(V\)を計算する途中で登場する積の期待値\(E\)の扱いに困ったのでまとめておきます。 導出 \(E\) \(=E\) \(=E \)\( +\mu_Y E \)\( +\mu_X...
統計 差の分散\(V[X-Y]\)の導出
はじめに \(V\)の導出をよく忘れるのでまとめることにしました。 導出したいものは、独立な確率変数\(X,Y\)に対して、差\(X-Y\)の分散\(V\)です。 導出 \(V\) \( =E - E^2\) \(=E\)\(-(E-E)^...