[1]
\(f(x)=F'(x)\)
\(\displaystyle =\left(1-e^{-\left(\frac{x}{\eta}\right)^m}\right)’\)
\(\displaystyle =\frac{m}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m-1}e^{-\left(\frac{x}{\eta}\right)^m}\)
さらに微分して、
\(f'(x)\)\(\displaystyle \propto \left(\frac{x}{\eta}\right)^{m-2}e^{-\left(\frac{x}{\eta}\right)^m}\left\{(m-1)-m\left(\frac{x}{\eta}\right)^m\right\}\)
\(m<1\)の時、\(\displaystyle(m-1)-m\left(\frac{x}{\eta}\right)^m<0\)なので単調減少で、\(\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)=\infty\)なので、\(mode\)は無し。
\(m=1\)の時、\(\displaystyle(m-1)-m\left(\frac{x}{\eta}\right)^m <0\)なので単調減少で、\(f(0)\)は定数なので、\(mode=0\)。
\(m>1\)の時、\(\displaystyle(m-1)-m\left(\frac{x}{\eta}\right)^m =0\)として、\(\displaystyle x=\left(\frac{m-1}{m}\right)^{\frac{1}{m}}\eta\)なので、\(\displaystyle mode=\left(\frac{m-1}{m}\right)^{\frac{1}{m}}\eta\)
\(W(2,10),W(2,5)\)の概形は省略。
[2]
\(h(x)=\displaystyle \frac{f(x)}{1-F(x)}\)
\(\displaystyle =\frac{\frac{m}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m-1}e^{-\left(\frac{x}{\eta}\right)^m}}{e^{-\left(\frac{x}{\eta}\right)^m}}\)
\(\displaystyle =\frac{m}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m-1}\)
以降、公式の解答を参照。
[3]
システム稼働停止までの寿命を確率変数\(T\)とすると、
\(P(T \leq t)\)\(=1-P(T > t)\)
\(P(T>t)\)は寿命が\(t\)より大きくなる場合で、\(k\)個の部品全てが\(t\)以上の時間持つという場合であるので、
\(=1-(1-F(t))^k\)
\(\displaystyle =1-\left\{e^{-\left(\frac{t}{\eta}\right)^m}\right\}^k\)
\(\displaystyle =1-e^{-\left(\frac{t}{\eta}\right)^m k}\)
\(\displaystyle =1-e^{-\left(\frac{t}{\eta’ }\right)^{m’} }\)
と置いて、係数比較により\(m’,\eta’\)を求めることで\(\displaystyle T \sim W(m,\eta k^{-\frac{1}{m}})\)だと分かる。
[4]
\(X,Y\)の同時確率密度関数を\(f(x,y)\)とすると、\(X<Y\)となる確率は、
\(\displaystyle \int \int _{x<y}f(x,y)dxdy\)
\(\displaystyle =\int^\infty_0 \int^y_0f(x,y)dxdy\)
\(\displaystyle =\int^\infty_0 f_Y(y)\int^y_0f_X(x)dxdy\) (\(X,Y\)は独立のため)
\(\displaystyle =\int^\infty_0 f_Y(y)F_X(y)dy\)
\(\displaystyle =\int^\infty_0 f_Y(y)\left(1-e^{-\left(\frac{y}{10}\right)^2}\right)dy\)
\(\displaystyle =\int^\infty_0 f_Y(y)dy -\int^\infty_0 f_Y(y) e^{-\left(\frac{y}{10}\right)^2}dy\)
\(\displaystyle =1 -\int^\infty_0 f_Y(y) e^{-\left(\frac{y}{10}\right)^2}dy\)
ここで、
\(\displaystyle \int^\infty_0 f_Y(y) e^{-\left(\frac{y}{10}\right)^2}dy\)
\(\displaystyle =\int^\infty_0 \frac{2}{5}\left(\frac{y}{5}\right)e^{-\left(\frac{y}{5}\right)^2}e^{-\left(\frac{y}{10}\right)^2}dy\)
\(\displaystyle =\int^\infty_0 \frac{2}{5}\left(\frac{y}{5}\right)e^{-\left(\frac{y}{\sqrt{20}}\right)^2}dy\)
\(\displaystyle =\frac{4}{5}\int^\infty_0 \frac{2}{\sqrt{10}}\left(\frac{y}{\sqrt{20}}\right)e^{-\left(\frac{y}{\sqrt{20}}\right)^2}dy\)
この積分は\(W(2,\sqrt{20})\)の確率密度関数を積分したものなので、
\(\displaystyle =\frac{4}{5}\)
以上より、
\(\displaystyle \int \int _{x<y}f(x,y)dxdy\)\(\displaystyle =\frac{1}{5}\)
補足
\(P(X<Y | Y=y)=P(X<y)\)\(\displaystyle \int^y_0 f_X(x)dx\)
\(\displaystyle P(X<Y) = \int^\infty_0 P(X<Y | Y=y)P(Y=y)dy\)
\(\displaystyle =\int^\infty_0 f_Y(y)\int^y_0f_X(x)dxdy\)
[5]
対数尤度関数
\(\displaystyle l(m,\eta)=\ln \prod_{i=1}^n f(x_i)\)
\(\displaystyle =\sum_{i=1}^n \ln f(x_i)\)
\(\displaystyle =\sum_{i=1}^n \ln \left(\frac{m}{\eta}\left(\frac{x_i}{\eta}\right)^{m-1}e^{-\left(\frac{x_i}{\eta}\right)^m}\right)\)
\(\displaystyle =\sum_{i=1}^n \left(\ln \frac{m}{\eta} +(m-1)\ln\frac{x_i}{\eta} – \left(\frac{x_i}{\eta}\right)^m\right)\)
\(\displaystyle =n\ln \frac{m}{\eta}+(m-1) \sum_{i=1}^n\ln\frac{x_i}{\eta}-\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i}{\eta}\right)^m\)
次に、
\(\displaystyle \ln\ln\frac{1}{1-F(x)}\)
\(\displaystyle =\ln\ln e^{\left(\frac{x}{\eta}\right)^m}\)
\(\displaystyle =\ln \left(\frac{x}{\eta}\right)^m\)
\(\displaystyle =m \ln \frac{x}{\eta}\)
\(\displaystyle =m\ln x -m\ln \eta\)
よって、\(\left(\ln x_i,\displaystyle \ln\ln\frac{1}{1-F(x_i)}\right)\)の点をプロットし、回帰直線を引くと傾きが\(m\)、切片が\(-m\ln\eta\)になるので、パラメータを推定出来る。
しかし\(F(x_i)\)が分からないので、経験分布関数を用いて\(F(x_i)\)を近似する。
経験分布関数については以下のサイトを参考にしてください。
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