[1]
赤玉、青玉は全て異なるものだとする。全事象は、\(N\)個から\(n\)個を選んで順番に並べる場合で、\({}_NP_n\)通り。
\(X_i=1\)は、\(i\)番目に\(M\)通りの赤玉、他の\(n-1\)個は残りの\(N-1\)個から\(n-1\)個を選んで順番に並べる場合で、\(M \times {}_{N-1}P_{n-1}\)通りなので、
\(P(X_i=1)=\displaystyle \frac{M {}_{N-1}P_{n-1}}{{}_NP_n}\)
\(=\displaystyle \frac{M}{N}\)
\(X_i=1,X_j=1\)は、\(i\)番目に\(M\)通りの赤玉、\(j\)番目に\(M-1\)通りの赤玉、他の\(n-2\)個は残りの\(N-2\)個から\(n-2\)個を選んで順番に並べる場合で、\(M\times (M-1) \times {}_{N-2}P_{n-2}\)通りなので、
\(P(X_i=1,X_j=1)=\displaystyle \frac{M (M-1) {}_{N-2}P_{n-2}}{{}_NP_n}\)
\(=\displaystyle \frac{M(M-1)}{N(N-1)}\)
[2]
以下、期待値計算等で青玉は\(X_i=0\)なので一部省略する。
\(E[X_i]=\displaystyle 1 \times \frac{M}{N}\)
\(=\displaystyle \frac{M}{N}\)
\(E[X_i^2]=\displaystyle 1^2 \times \frac{M}{N}\)
\(=\displaystyle \frac{M}{N}\)
\(V[X_i]=E[X_i^2]-E[X_i]^2\)
\(\displaystyle = \displaystyle \frac{M}{N} -\left(\displaystyle \frac{M}{N}\right)^2\)
\(\displaystyle =\displaystyle \frac{M(N-M)}{N^2}\)
\(E[X_iX_j]=\displaystyle 1 \times 1 \times \frac{M(M-1)}{N(N-1)}\)
\(\displaystyle =\frac{M(M-1)}{N(N-1)}\)
\( Cov[X_i,X_j]=E[X_iX_j]-E[X_i]E[X_j]\)
\(\displaystyle = \frac{M(M-1)}{N(N-1)}-\left(\displaystyle \frac{M}{N}\right)^2\)
\(\displaystyle = -\frac{M(N-M)}{N^2(N-1)}\)
[3]
\(M\)個の赤玉から\(x\)個を選び、\(N-M\)個の青玉から\(n-x\)個を選んだ後、1列に並べる順列は、\({}_MC_x \times {}_{N-M}C_{n-x} \times n!\)通りなので、
\(P(X=x)=\displaystyle \frac{{}_MC_x \cdot {}_{N-M}C_{n-x} n!}{{}_NP_n}\)
\(\displaystyle =\frac{{}_MC_x \cdot {}_{N-M}C_{n-x} }{{}_NC_n}\)
[4]
\(E[X]=E[X_1]+\cdots E[X_n]\)
\(=\displaystyle \frac{nM}{N}\)
\(E[X^2]=E[(X_1+\cdots + X_n)^2]\)
\(=\displaystyle \sum^n_{i=1}E[X_i^2]+2\sum^n_{i<j}E[X_iX_j]\)
\(=\displaystyle n\left(\frac{M}{N}\right)^2+2 \cdot{}_nC_2\frac{M(M-1)}{N(N-1)}\)
\(=\displaystyle n\left(\frac{M}{N}\right)^2+n(n-1)\frac{M(M-1)}{N(N-1)}\)
\(V[X]=E[X^2]-E[X]^2\)
\(=\displaystyle n\left(\frac{M}{N}\right)^2+n(n-1)\frac{M(M-1)}{N(N-1)}\)\(\displaystyle-\left(\frac{nM}{N}\right)^2\)
\(\displaystyle =\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}\)
[5]
[4]で\(N=N+K,M=K\)で置き換えて、
\(E[X]=\displaystyle \frac{nK}{N+K}\)
および
\(V[X]\displaystyle =\frac{nKN(N+K-n)}{(N+K)^2(N+K-1)}\)
整理して、
\(N=\displaystyle K\left(\frac{n}{E[X]}-1\right)\)
よって、
\(\hat{N}=\displaystyle K\left(\frac{n}{X}-1\right)\)
\(V[\hat{N}]=\displaystyle V\left[K\left(\frac{n}{X}-1\right)\right]\)
\(\displaystyle =(nK)^2V\left[\frac{1}{X}\right]\)
\(f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}\)として\(\displaystyle \frac{1}{X}\)を\(X=E[X]\)周りでテイラー展開すると、
\(\displaystyle \frac{1}{X}=\frac{1}{E[X]}+f'(E[X])(X-E[X])\)
よって、
\(\displaystyle V\left[\frac{1}{X}\right]=f'(E[X])^2V[X]\)
\(\displaystyle =\frac{1}{E[X]^4}V[X]\)
\(\displaystyle =\frac{(N+K)^4}{(nK)^4}\frac{nKN(N+K-n)}{(N+K)^2(N+K-1)}\)
\(\displaystyle =\frac{N(N+K-n)(N+K)^2}{n^3K^3(N+K-1)}\)
以上より、
\(V[\hat{N}]\)\(=\displaystyle (nK)^2\frac{N(N+K-n)(N+K)^2}{n^3K^3(N+K-1)}\)
\(=\displaystyle \frac{N(N+K-n)(N+K)^2}{nK(N+K-1)}\)
\(=\displaystyle \frac{N(N+K-n)(N+K)^2}{nK(N+K)}\)(\(N \gg 1\)のため)
\(=\displaystyle \frac{N(N+K-n)(N+K)}{nK}\)(\(N \gg 1\)のため)
よって、
\(\varepsilon = \displaystyle \frac{\sqrt{V[\hat{N}]}}{N}\)
\( \displaystyle =\sqrt{\frac{(N+K-n)(N+K)}{nKN}}\)
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