ガンマ分布の確率密度関数
ガンマ分布の確率密度関数はよく統計検定の参考書では以下のように表されます。
$$f(x;\alpha,\beta)=\displaystyle \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}\exp(-\beta x)$$
ただし、\(\alpha,\beta > 0\)で
$$\Gamma(\alpha)=\displaystyle \int^{\infty}_0 t^{\alpha-1}\exp(-t)dt$$
この式がどうしても覚えづらいので式変形していきます。
\( \Gamma(\alpha)=\displaystyle \int^{\infty}_0 t^{\alpha-1}\exp(-t)dt \)
について\(t=\beta x\)と変数変換すると、
\( \displaystyle \int^{\infty}_0 t^{\alpha-1}\exp(-t)dt \)
\( =\displaystyle \int^{\infty}_0 (\beta x)^{\alpha-1}\exp(-\beta x)\beta dx \)
\( =\displaystyle \beta^\alpha \int^{\infty}_0 x^{\alpha-1}\exp(-\beta x) dx \)
この式でガンマ分布の確率密度関数を書き換えると
$$f(x;\alpha,\beta)=\displaystyle \frac{ \displaystyle x^{\alpha-1}\exp(-\beta x) }{ \displaystyle \int^{\infty}_0 x^{\alpha-1}\exp(-\beta x) dx }$$
この式の方が覚えやすいです。
関数\(f(x)=x^{\alpha-1}\exp(\beta x)\)を全区間の積分で割って規格化したものだと見ることが出来ます。
ガンマ関数のモーメント母関数
\(M(t;\alpha,\beta)\)
\(=E[e^{tx}]\)
\(= \displaystyle \int^\infty_0 e^{tx}\frac{ x^{\alpha-1}\exp(-\beta x) }{ \int^{\infty}_0 x^{\alpha-1}\exp(-\beta x) dx } dx \)
\(= \displaystyle \frac{\int^\infty_0 x^{\alpha-1}\exp(-(\beta-t) x)dx }{ \int^{\infty}_0 x^{\alpha-1}\exp(-\beta x) dx } \)
\((\beta-t)x=\beta s\)と変数変換すると、
\(= \displaystyle \frac{\int^\infty_0 \left(\frac{\beta}{\beta-t}s\right) ^{\alpha-1}\exp(-\beta s)\left(\frac{\beta}{\beta-t}\right)ds }{ \int^{\infty}_0 x^{\alpha-1}\exp(-\beta x) dx } \)
\(= \displaystyle \left(\frac{\beta}{\beta-t}\right)^\alpha \frac{ \int^{\infty}_0 s^{\alpha-1}\exp(-\beta s) ds }{ \int^{\infty}_0 x^{\alpha-1}\exp(-\beta x) dx } \)
\(= \displaystyle \left(\frac{\beta}{\beta-t}\right)^\alpha \)
ガンマ関数のモーメント母関数
$$M(t;\alpha,\beta)= \displaystyle \left(\frac{\beta}{\beta-t}\right)^\alpha $$
ガンマ分布の平均と分散
平均
平均\(E[X]\)
\(=\displaystyle \left . \frac{d}{dt}M(t)\right |_{t=0}\)
\(=\displaystyle \left . \alpha \left(\frac{\beta}{\beta-t}\right)^{\alpha-1}\frac{\beta}{(\beta -t)^2} \right |_{t=0}\)
\(=\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}\)
分散
分散\(V[X]\)
\(=E[X^2]-E[X]^2\)
\(E[X^2]\)
\(= \displaystyle \left . \frac{d}{dt^2}M(t)\right |_{t=0} \)
\(= \displaystyle \left .\frac{d}{dt^2}\frac{\alpha}{\beta} \left(\frac{\beta}{\beta-t}\right)^{\alpha+1} \right |_{t=0} \)
\(=\displaystyle \frac{\alpha(\alpha+1)}{\beta^2}\)
これを用いると、
\(V[X]\)
\(= \displaystyle \frac{\alpha(\alpha+1)}{\beta^2} -\left( \frac{\alpha}{\beta}\right)^2\)
\(=\displaystyle \frac{\alpha}{\beta^2}\)
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