\(E[E[X|Y]]=E[X]\)の証明

はじめに

\(E[E[X|Y]]=E[X]\)の証明をしました。

\(E[X|Y]\)は、「条件\(Y\)の下での\(X\)の期待値」です。

証明

\(\displaystyle E[X|Y]= \int ^\infty _{-\infty} xf_{X|Y}(x)dx\)

\(\displaystyle = \int ^\infty _{-\infty} x\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}dx \)

\(\displaystyle = \frac{1}{f_Y(y)} \int ^\infty _{-\infty} xf(x,y)dx \)

これは今、\(y\)のみの関数となっている。

\(\displaystyle E[E[X|Y]] = \int ^\infty _{-\infty} E[X|Y]f_Y(y)dy\)

\(\displaystyle= \int ^\infty _{-\infty} \left( \frac{1}{f_Y(y)} \int ^\infty _ {-\infty} xf(x,y)dx \right)f_Y(y)dy \)

\( \displaystyle = \int ^\infty _{-\infty} \int ^\infty _ {-\infty} xf(x,y)dx dy \)

\(=E[X]\)