統計検定 1級 2019年 統計応用(理工学) 問4 解答 解説

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[1]

定常性により、\(E[X_t],V[X_t]\)は時間に依らず一定。

\(E[X_t]=\mu,V[X_t]=\sigma^2_X\)として、

期待値については、

\(E[X_t]=E[\phi X_{t-1}+\epsilon_t]\)

\(=\phi E[X_{t-1}]+E[\epsilon_t]\)

よって、

\(\mu=\phi \mu +0\)

\(\mu=0\)

分散については、

\(V[X_t]=V[\phi X_{t-1} + \epsilon_t]\)

\(=\phi^2 V[X_{t-1}]+V[\epsilon_t]\)

よって、

\(\sigma^2_X=\phi^2 \sigma^2_X + \sigma^2\)

\(\displaystyle \sigma^2_X=\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\)

\(Cov[X_i,X_j]\)を考えるが、\(i,j\)の大小で場合を分けるのが面倒なので、\(k\)を0以上の整数として、\(Cov[X_i,X_{i+k}]\)を考える。

\(Cov[X_i,X_{i+k}]=E[X_iX_{i+k}]-E[X_i]E[X_{i+k}]\)\(=E[X_iX_{i+k}]\)

ここで、

\(E[X_iX_{i+k}]=E[X_i(\phi X_{i+k-1}+\epsilon_i)]\)

\(=\phi E[X_iX_{i+k-1}]\)

\(E[X_iX_{i+k}]\)を初項\(E[X_i^2]\)、公比\(\phi\)の\(k\)に関する等比数列だと見ると、

\(E[X_iX_{i+k}]=\phi^kE[X_i^2]\)\(=\phi^k V[X_i^2]\)\(=\displaystyle \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\phi^k\)

よって、

\(Cov[X_i,X_{i+k}]=\displaystyle \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\phi^k\)

なので、

\(\tau _{ij}=Cov[X_i,X_j]\)\(=\displaystyle \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\phi^{|i-j|}\)

自己相関行列については、

\(\rho_{ij}=\displaystyle \frac{Cov[X_i,X_j]}{\sqrt{V[X_i]}\sqrt{V[X_j]}}\)

\(\displaystyle =\frac{\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\phi^{|i-j|}}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}}\sqrt{\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}}}\)\(=\phi^{|i-j|}\)

[2]

\((TA)_{ij}=\displaystyle \sum_{k=1}^n \tau_{ik}a_{kj}\)

\(\displaystyle =\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\sum_{k=1}^n \phi^{|i-k|}a_{kj}\)

\(j=1\)の時、

\((TA)_{i1}=\displaystyle \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\sum_{k=1}^n \phi^{|i-k|}a_{k1}\)

\(\displaystyle =\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}(\phi^{|i-1|}+\phi^{|i-2|}(-\phi))\)

\(\displaystyle =\left \{ \begin{array}{}\sigma^2 & (i=1) \\ 0 & (i \neq 1)\end{array} \right.\)

\(2\leq j \leq n-1\)の時、

\((TA)_{ij}=\displaystyle \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\sum_{k=1}^n \phi^{|i-k|}a_{kj}\)

\(\displaystyle =\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}(\phi^{|i-j+1|}a_{j-1,j}\)\(+\phi^{|i-j|}a_{j,j}\)\(+\phi^{|i-j-1|}a_{j+1,j})\)

\(\displaystyle =\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}(\phi^{|i-j+1|}(-\phi)\)\(+\phi^{|i-j|}(1+\phi^2)\)\(+\phi^{|i-j-1|}(-\phi))\)

\(\displaystyle =\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\phi^{|i-j|}(1\)\(+\phi^2\)\(-\phi^{|i-j+1|-|i-j|+1}\)\(-\phi^{|i-j-1|-|i-j|+1})\)

\(\displaystyle =\left \{ \begin{array}{}\sigma^2 & (i=j) \\ 0 & (i \neq j)\end{array} \right.\)

\(j=n\)の場合は省略。

以上より\(TA=\sigma^2 E\)が示された。

行列式の計算は三重対角行列の行列式の計算方法が必要みたいです。

Tridiagonal matrix - Wikipedia

以下難解過ぎて作成中断中です。

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