[1]
定常性により、\(E[X_t],V[X_t]\)は時間に依らず一定。
\(E[X_t]=\mu,V[X_t]=\sigma^2_X\)として、
期待値については、
\(E[X_t]=E[\phi X_{t-1}+\epsilon_t]\)
\(=\phi E[X_{t-1}]+E[\epsilon_t]\)
よって、
\(\mu=\phi \mu +0\)
\(\mu=0\)
分散については、
\(V[X_t]=V[\phi X_{t-1} + \epsilon_t]\)
\(=\phi^2 V[X_{t-1}]+V[\epsilon_t]\)
よって、
\(\sigma^2_X=\phi^2 \sigma^2_X + \sigma^2\)
\(\displaystyle \sigma^2_X=\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\)
\(Cov[X_i,X_j]\)を考えるが、\(i,j\)の大小で場合を分けるのが面倒なので、\(k\)を0以上の整数として、\(Cov[X_i,X_{i+k}]\)を考える。
\(Cov[X_i,X_{i+k}]=E[X_iX_{i+k}]-E[X_i]E[X_{i+k}]\)\(=E[X_iX_{i+k}]\)
ここで、
\(E[X_iX_{i+k}]=E[X_i(\phi X_{i+k-1}+\epsilon_i)]\)
\(=\phi E[X_iX_{i+k-1}]\)
\(E[X_iX_{i+k}]\)を初項\(E[X_i^2]\)、公比\(\phi\)の\(k\)に関する等比数列だと見ると、
\(E[X_iX_{i+k}]=\phi^kE[X_i^2]\)\(=\phi^k V[X_i^2]\)\(=\displaystyle \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\phi^k\)
よって、
\(Cov[X_i,X_{i+k}]=\displaystyle \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\phi^k\)
なので、
\(\tau _{ij}=Cov[X_i,X_j]\)\(=\displaystyle \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\phi^{|i-j|}\)
自己相関行列については、
\(\rho_{ij}=\displaystyle \frac{Cov[X_i,X_j]}{\sqrt{V[X_i]}\sqrt{V[X_j]}}\)
\(\displaystyle =\frac{\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\phi^{|i-j|}}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}}\sqrt{\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}}}\)\(=\phi^{|i-j|}\)
[2]
\((TA)_{ij}=\displaystyle \sum_{k=1}^n \tau_{ik}a_{kj}\)
\(\displaystyle =\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\sum_{k=1}^n \phi^{|i-k|}a_{kj}\)
\(j=1\)の時、
\((TA)_{i1}=\displaystyle \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\sum_{k=1}^n \phi^{|i-k|}a_{k1}\)
\(\displaystyle =\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}(\phi^{|i-1|}+\phi^{|i-2|}(-\phi))\)
\(\displaystyle =\left \{ \begin{array}{}\sigma^2 & (i=1) \\ 0 & (i \neq 1)\end{array} \right.\)
\(2\leq j \leq n-1\)の時、
\((TA)_{ij}=\displaystyle \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\sum_{k=1}^n \phi^{|i-k|}a_{kj}\)
\(\displaystyle =\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}(\phi^{|i-j+1|}a_{j-1,j}\)\(+\phi^{|i-j|}a_{j,j}\)\(+\phi^{|i-j-1|}a_{j+1,j})\)
\(\displaystyle =\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}(\phi^{|i-j+1|}(-\phi)\)\(+\phi^{|i-j|}(1+\phi^2)\)\(+\phi^{|i-j-1|}(-\phi))\)
\(\displaystyle =\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\phi^{|i-j|}(1\)\(+\phi^2\)\(-\phi^{|i-j+1|-|i-j|+1}\)\(-\phi^{|i-j-1|-|i-j|+1})\)
\(\displaystyle =\left \{ \begin{array}{}\sigma^2 & (i=j) \\ 0 & (i \neq j)\end{array} \right.\)
\(j=n\)の場合は省略。
以上より\(TA=\sigma^2 E\)が示された。
行列式の計算は三重対角行列の行列式の計算方法が必要みたいです。
以下難解過ぎて作成中断中です。
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